Geometría del Plano
Aprende, practica y domina los conceptos fundamentales de la geometría plana
Aprende, practica y domina los conceptos fundamentales de la geometría plana
La geometría del plano estudia las propiedades y relaciones de figuras en un espacio bidimensional, utilizando elementos fundamentales como puntos, rectas, segmentos y ángulos.
En este curso aprenderás a:
En el juego del billar intervienen muchos elementos de la geometría plana, como puntos, rectas, ángulos y simetrías. Las trayectorias de las bolas se calculan usando estos conceptos geométricos.
Tiro directo: Apuntamos directamente a la bola objetivo.
Tiro a banda: Usamos las bandas de la mesa para calcular ángulos de rebote.
Tiro a dos bandas: Más complejo, usando múltiples rebotes para alcanzar la bola.
Las rectas, puntos, simetrías, ángulos y otros elementos geométricos son la base del juego del billar y de muchas otras aplicaciones en la vida real.
En geometría, los elementos más básicos son:
Cuando unimos dos puntos distintos en un plano:
Cuando trazamos dos rectas en un plano, pueden ocurrir varios casos:
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro regiones de igual amplitud (cuatro ángulos rectos).
Dada una recta y un punto cualquiera sobre ella, existe una única recta perpendicular a la primera que contiene a ese punto.
La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Propiedad importante: Cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de los extremos del segmento.
Dada una recta (eje de simetría) y un punto C, el punto simétrico C' es aquel tal que la recta es mediatriz del segmento CC'.
Esta simetría se llama reflexión y se puede aplicar a cualquier figura geométrica.
Ejercicio 1: Traza tres rectas diferentes que contengan a un punto A. ¿Cuántas rectas más puedes trazar que pasen por ese punto?
Solución: Por un punto se puede trazar un número infinito de rectas distintas.
Ejercicio 2: Traza dos rectas distintas que contengan a la vez a dos puntos A y B. ¿Es esto posible? Explícalo con tus propias palabras.
Solución: Por dos puntos distintos sólo es posible trazar una recta.
Ejercicio 7: Representa en tu libreta dos rectas paralelas y otra secante a la recta r.
Solución: Revisa la sección sobre posiciones relativas de rectas.
Ejercicio 14: Con regla y compás traza el segmento AB y su mediatriz.
Solución:
Un ángulo es cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen (vértice).
La amplitud del ángulo es la medida de su abertura.
Clasificación según su amplitud:
La unidad de medida de ángulos es el grado sexagesimal (°).
Un grado se divide en 60 minutos (') y un minuto en 60 segundos ('').
1° = 60'
1' = 60''
1° = 3600''
Convertir 35.75° a grados, minutos y segundos:
35°
0.75 * 60 = 45'
Resultado: 35° 45' 0''
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que, partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Propiedad importante: Cualquier punto de la bisectriz está a la misma distancia de los lados del ángulo.
Ejercicio 15: ¿Qué tipo de ángulo forman las agujas de un reloj a las 3 en punto?
Solución: Un ángulo recto (90°).
Ejercicio 16: Convierte 72° 30' 45'' a grados decimales.
Solución: 72 + (30/60) + (45/3600) = 72 + 0.5 + 0.0125 = 72.5125°
Para sumar ángulos, se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si los minutos o segundos superan 60, se realiza la conversión.
(25° 40' 30'') + (10° 30' 40'')
Segundos: 30 + 40 = 70'' = 1' 10''
Minutos: 40 + 30 + 1 (acarreo) = 71' = 1° 11''
Grados: 25 + 10 + 1 (acarreo) = 36°
Resultado: 36° 11' 10''
Para restar ángulos, se restan grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si es necesario, se
Para restar ángulos, se restan grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si es necesario, se realizan conversiones.
(50° 20' 15'') - (20° 35' 30'')
Como 15'' < 30'', tomamos prestado 1' = 60''
Segundos: 75'' - 30'' = 45''
Como 19' < 35', tomamos prestado 1° = 60'
Minutos: 79' - 35' = 44'
Grados: 49° - 20° = 29°
Resultado: 29° 44' 45''
Ejercicio 30: Calcula de forma gráfica y analítica la suma de los ángulos de 110° y 40°.
Solución: 110° + 40° = 150°
Ejercicio 31: Calcula 128° 28' 23'' + 91° 32' 49''.
Solución:
Ejercicio A: Dibuja un ángulo de 45° y construye su bisectriz.
Solución: La bisectriz dividirá el ángulo de 45° en dos ángulos de 22.5° cada uno.
Ejercicio B: Encuentra el complemento y suplemento de un ángulo de 35°.
Solución: Complemento: 90° - 35° = 55°. Suplemento: 180° - 35° = 145°.
Ejercicio C: Calcula 75° 45' 30'' × 3.
Solución:
Para profundizar en el estudio de la geometría del plano, te recomendamos:
La geometría del plano tiene múltiples aplicaciones: